Division par 19 - Corrigé

Énoncé

1. Vérifier que $7^3\equiv 1[19]$ .

2. Quel est le reste de la division euclidienne de $11\times 7^{42}-8$ par $19$ ?

Solution

1. On a $7^3=343=19\times 18+1$ avec $0⩽1<19$ donc $7^3\equiv 1[19]$ .

2. Comme $7^3\equiv 1[19]$ , on a $(7^3{)}^{14}\equiv 1^{14}[19]$ , c'est-à-dire $7^{42}\equiv 1[19]$ .
On a donc : $11\times 7^{42}-8\equiv 11\times 1-8\equiv 3[19]$ .
Ainsi, le reste de la division euclidienne de $11\times 7^{42}-8$ par $19$  est $3$ .